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北约自主招生

发布于：2021-02-27 02:41:44 作者：admin

因为每个三角形中心有一个点，圆上有两个点，所以是等腰三角形。

内角相等：

a b=b c=c d=d e=e a

北约自主招生

和

$ $ \ { a b=b c \=c；c d=d e \=e \=c=e \ \ b c=c d \=dd e=e a \=a \=d=a \ end { $ $

所以

a=b=c=d=e .可以得出AOB=BOC=COD=DOE=EOA。

所以这个五边形是正五边形。证书已完成。

注：似乎可以推广到“内接奇数边的等内角圆是正奇数边。”

2.验证：任何$\sqrt{2} 1$的正整数幂都可以表示为$\sqrt{s} \sqrt{s-1}$，其中s为正整数。

这个问题就是我当初想的(当时刚发完试卷，没开始考试)。一开始我以为可以用数学归纳法，结果发现不行，我就另辟蹊径。解决方案在思想上和PDF类似，但表达方式不同。

设$(\ sqrt { 2 } 1)n=ab \ sqrt { 2 }=\ sqrt { a 2 } \ sqrt { 2b 2 } $，其中a和b为正整数。

不难证明：

(1) n为奇数时，有$(\ sqrt { 2 }-1)n=-ab \ sqrt { 2 } $；

(2)当n为偶数时，有$ (\ sqrt {2}-1) n=a-b \ sqrt {2} $。

以下是证明：

(1)当n为奇数时，$ s=a 2 1 $，即，$ 2b ^ 2-a ^ 2=1 $

(2)当n为偶数时，$ s=a 2 $，即，$ a ^ 2-2b ^ 2=1 $

第一种情况(1)可以解决如下：

$ $ \ begin { aligned } a=\ frac {(\ sqrt { 2 } 1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}\\\sqrt{2}b=\frac{(\sqrt{2} 1)^n(\sqrt{2}-1)^n}{2}\end{aligned}$$

获取$ 2b 2-a 2=\ frac {[(\ sqrt { 2 } 1)n(\ sqrt { 2 }-1)n]2-[(\ sqrt { 2 } 1)n-(\ sqrt { 2 }-)

$ $=\ frac { 4(\ sqrt { 2 } 1)^n(\sqrt{2}-1)^n}{4}=1$$

第一(2)种情况可以解决：

$ $ \ begin { aligned } a=\ frac {(\ sqrt { 2 } 1)^n(\sqrt{2}-1)^n}{2}\\\sqrt{2}b=\frac{(\sqrt{2} 1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}\end{aligned}$$

用同样的方法代入得到$ a 2-2b 2=1 $

认证完成

附件：

2012年，北约自主招生数学——空读遥遥无期。可移植文档格式文件的扩展名（portable document format的缩写）

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